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\lhead{ \Large{EXERCICES MPSI}}\chead{ \LARGE {A1. IV. APPLICATIONS}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}}
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\begin{document}


\begin{equation*}
\fbox{VI. \textbf{APPLICATIONS - SURJECTIONS - INJECTIONS - BIJECTIONS}}
\end{equation*}%
\fbox{\textbf{APPLICATIONS}}

\begin{enumerate}
\item : Soit $f$ l'application du plan $P$ rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re
orthonorm\'{e} dans lui-m\^{e}me qui a tout point $M\left\vert 
\begin{array}{c}
x \\ 
y%
\end{array}%
\right. $ fait correspondre le point $M^{\prime }=f\left( M\right)
\left\vert 
\begin{array}{c}
xy \\ 
x+y%
\end{array}%
\right. $ ; soit $D$ la droite d'\'{e}quation $y=x$ ; d\'{e}terminer et
tracer les ensembles $f^{-1}\left( D\right) $ et $f\left( D\right) .$

\item * : Soient $\mathbb{E}$ et $\mathbb{F}$ deux ensembles disjoints.
Soient $x\in \mathbb{E},$ $y\in \mathbb{F},$ $f\in \mathbb{F}^{\mathbb{E}},$ 
$g\in \mathbb{E}^{\mathbb{F}}$ et $T\in \left( \mathbb{F}^{\mathbb{E}%
}\right) ^{\mathbb{F}^{\mathbb{E}}}.$ Parmi les expressions suivantes, dire
lesquelles ont un sens, et lesquelles sont \'{e}gales. Dire \'{e}galement
dans quel ensemble elles vivent.

\begin{enumerate}
\item $a=g\left( T\left( f\right) \right) \left( x\right) \;;b=f\circ
g\;;c=g\left( T\left( f\right) \left( x\right) \right) \;;d=T\left( f\right)
\left( x\right) \;(\;=\left( T\left( f\right) \right) \left( x\right) \;)\;;$

$e=T\left( f\left( x\right) \right) \;;\;h=g\circ \left( T\left( f\right)
\right) \left( x\right) \;;i=T\left( T\left( f\right) \right) \left(
x\right) \;;\ j=T\left( T\left( f\right) \left( x\right) \right) \;;$

$k=\left( T\left( f\right) \circ g\right) \left( y\right) \;;\;l=\left(
T\circ T\right) \left( f\right) \left( x\right) \;;\;m=f\left( g\left(
y\right) \right) \;;\;n=g\circ \left( T\left( f\right) \right) \;;o=\left(
g\circ T\right) \left( f\right) .$
\end{enumerate}

\item * : soit $T\in \left( \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\right) ^{^{\mathbb{R}^{%
\mathbb{R}}}}$ d\'{e}finie par $T\left( f\right) \left( x\right) =f\left(
x+1\right) +f\left( x\right) ,$ pour $f\in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ et $x\in 
\mathbb{R}$ ; pour $n$ entier naturel, on pose $T^{n}=\underset{n\text{ fois}%
}{\underbrace{T\circ T\circ ...\circ T}}$

\begin{enumerate}
\item Calculer $T^{2}\left( f\right) \left( x\right) $ et $T^{3}\left(
f\right) \left( x\right) .$

\item Proposer une formule g\'{e}n\'{e}rale pour $T^{n}\left( f\right)
\left( x\right) $ et la montrer par r\'{e}currence.
\end{enumerate}

\item : Soit $f$ une application de $E$ dans lui-m\^{e}me et $F$ l'ensemble
de ses points fixes.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f\circ f=f$ ssi $f\left( E\right) \subset F.$

\item * D\'{e}nombrer les applications $f$ v\'{e}rifiant $f\circ f=f$ quand $%
\left\vert E\right\vert =n.$
\end{enumerate}

\fbox{\textbf{INJECTIONS SURJECTIONS BIJECTIONS}}

\item : des maths au fran\c{c}ais.

Les \'{e}l\`{e}ves d'une classe sont assis dans une salle ; soit $E$
l'ensemble des \'{e}l\`{e}ves, $C$ l'ensemble des chaises et $f$
l'application d\'{e}finie par $\left\{ 
\begin{array}{c}
E\rightarrow C \\ 
x\mapsto f(x)=\text{la chaise sur laquelle }x\text{ est assis}%
\end{array}%
\right. .$Que signifient concr\`{e}tement les phrases suivantes ?

\begin{enumerate}
\item $f$ n'est pas surjective ?

\item $f$ n'est pas injective ?

\item $f$ est bijective ?
\end{enumerate}

\item : du fran\c{c}ais aux maths.

Interpr\'{e}ter les phrases suivantes en termes d'applications. On
n'oubliera pas de d\'{e}finir correctement l'ensemble de d\'{e}part et celui
d'arriv\'{e}e.

\begin{enumerate}
\item Dans cette classe, il y a des \'{e}l\`{e}ves qui ont le m\^{e}me \^{a}%
ge.

\item Dans cette classe, chaque \'{e}l\`{e}ve est n\'{e} un jour diff\'{e}%
rent de l'ann\'{e}e.

\item Toute ville de France poss\`{e}de au moins une \'{e}glise.

\item Il y a des villes qui ont plusieurs \'{e}glises.

\item Il y a des r\'{e}els qui n'ont pas de racine carr\'{e}e.

\item Tout r\'{e}el positif ou nul poss\`{e}de une unique racine carr\'{e}e
positive ou nulle.

\item Si $x+iy=x^{\prime }+iy^{\prime }$ avec $x,y,x^{\prime },y^{\prime }$ r%
\'{e}els alors $x=x^{\prime }$ et $y=y^{\prime }.$

\item On peut avoir $a+b=a^{\prime }+b^{\prime }$ sans que $a=a^{\prime }$
et $b=b^{\prime }.$

\item Si pour tout $x\in \mathbb{R},$ $ax+b=a^{\prime }x+b^{\prime },$ alors 
$a=a^{\prime },$ et $b=b^{\prime }.$

\item Tout nombre r\'{e}el de $[0,1]$ poss\`{e}de un d\'{e}veloppement d\'{e}%
cimal illimit\'{e} (du type $0,a_{1}a_{2}..a_{n}...$ avec $a_{n}\in \left[
\left\vert 0,9\right\vert \right] $), mais celui-ci n'est pas toujours
unique.
\end{enumerate}

\item Montrer qu'une isom\'{e}trie du plan, c'est \`{a} dire une application 
$f$ de $P$ dans $P$ telle que pour tous points $M,N,\;$\ $f\left( M\right)
f\left( N\right) =MN$ , est injective (elle est aussi surjective, mais c'est
beaucoup plus difficile \`{a} prouver !).

\item : Montrer que la fonction sinus est injective sur $\mathbb{Q}$.

\item : Soit $f\in \mathbb{F}^{\mathbb{E}}$, $g\in \mathbb{G}^{\mathbb{F}},$ 
$h\in \mathbb{H}^{\mathbb{G}}$ ;

\begin{enumerate}
\item Prouver les \'{e}nonc\'{e}s suivants :

\begin{enumerate}
\item si $g\circ f$ est injective alors $f$ aussi.

\item si de plus $f$ est surjective alors $g$ est injective.

\item si $g\circ f$ est surjective alors $g$ l'est aussi.

\item si de plus $g$ est injective alors $f$ est surjective.
\end{enumerate}

\item Si $g\circ f$ est bijective, que peut on en conclure pour $f$ et pour $%
g$ ? Donner un exemple o\`{u} $f$ n'est pas bijective.

\item Si $g\circ f$ et $h\circ g$ sont bijectives, montrer que $f,g,h$ sont
toutes les trois bijectives.
\end{enumerate}

\item * : Soit $f\in \mathbb{F}^{\mathbb{E}}$ ; on d\'{e}finit $g$ de $%
\mathcal{P}\left( \mathbb{F}\right) $ dans $\mathcal{P}\left( \mathbb{E}%
\right) $ par $g\left( B\right) =f^{-1}\left( B\right) $ pour $B\subset 
\mathbb{F}$ ; ATTENTION : $g$ n'est pas $f^{-1}$ ! L'application $f$ n'est
pas suppos\'{e}e bijective ! Montrer que :

\begin{enumerate}
\item $f$ est injective ssi $g$ est surjective.

\item $f$ est surjective ssi $g$ est injective.
\end{enumerate}

\item : $A$ et $B$ sont deux parties de $\mathbb{E}.$\newline
Soit $f:\left\vert 
\begin{array}{c}
\mathcal{P}\left( \mathbb{E}\right) \rightarrow \mathcal{P}\left( A\right)
\times \mathcal{P}\left( B\right) \\ 
X\mapsto \left( X\cap A,X\cap B\right)%
\end{array}%
\right. $

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(\mathbb{E})$ et $f(A\cup B)$ ; en d\'{e}duire une
condition n\'{e}cessaire pour que $f$ soit injective ; montrer que cette
condition est aussi suffisante.

\item Chercher un ant\'{e}c\'{e}dent \'{e}ventuel de $(A,\emptyset )$ par $f$
; en d\'{e}duire une condition n\'{e}cessaire pour que $f$ soit surjective ;
montrer que cette condition est aussi suffisante.
\end{enumerate}

\item : \'{E}tudier l'injectivit\'{e} et la surjectivit\'{e} des
applications $f$ et $g$ de $\mathbb{Z}^{2}$ dans lui m\^{e}me d\'{e}finies
par 
\begin{equation*}
f(x,y)=(4x-3y,5x-4y)\text{ et }g(x,y)=(4x+3y,5x-4y)
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Le cas g\'{e}n\'{e}ral constitue le sujet d'\'{e}tude n$%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
13.$
\end{enumerate}

\item * : Soient $D_{1}$ et $D_{2}$ deux droites dans un plan $\mathcal{P}.$
Soit $M\in \mathcal{P}.$ On note :\newline
\begin{equation*}
f:\left\vert 
\begin{array}{c}
\mathcal{P}\rightarrow D_{1}\times D_{2} \\ 
M\mapsto \left( p_{1}\left( M\right) ,p_{2}\left( M\right) \right)%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
\newline
o\`{u} $p_{1}\left( M\right) $ est le projet\'{e} orthogonal de $M$ sur $%
D_{1}$ et $p_{2}\left( M\right) $ le projet\'{e} orthogonal de $M$ sur $%
D_{2}.$\newline
A quelle condition n\'{e}cessaire et suffisante, l'application $f$ est-elle
bijective ?

\item * : Reformuler l'\'{e}nonc\'{e} (qu'on ne demande pas de prouver) :
\textquotedblleft tout nombre entier naturel peut s'\'{e}crire comme somme
de $4$ carr\'{e}s de nombres entiers naturels, mais cette d\'{e}composition
n'est pas toujours unique, m\^{e}me lorsque l'on ne tient pas compte de
l'ordre\textquotedblright , sous la forme : \textquotedblleft l'application
de ... vers...qui \`{a} tout...fait correspondre... est (ou n'est pas)
injective (ou surjective ou bijective)\textquotedblright .

\item * : On appelle $\mathcal{A}_{1}$ =$\underset{n\in \mathbb{N}}{\cup }%
\mathbb{P}^{n}$ l'ensemble des listes finies de nombres premiers et $%
\mathcal{A}_{2}\subset \mathcal{A}_{1}$ l'ensemble des listes sans r\'{e}p%
\'{e}titions.\newline
On appelle $\mathcal{A}_{3}$ l'ensemble des combinaisons avec r\'{e}p\'{e}%
tition de nombres premiers et $\mathcal{A}_{4}=\mathcal{P}_{f}(\mathbb{P}%
)\subset \mathcal{A}_{3}$ l'ensemble des combinaisons sans r\'{e}p\'{e}%
titions, c'est-\`{a}-dire l'ensemble des parties finies de $\mathbb{P}$.%
\newline
Pour $i=1,2,3,4$ on d\'{e}signe par $f_{i}$ l'application $\left\vert 
\begin{array}{c}
\mathcal{A}_{i}\rightarrow \mathbb{N}^{\ast } \\ 
X\mapsto \underset{p\in X}{\prod }p%
\end{array}%
\right. $ avec, par convention, $f_{i}\left( \emptyset \right) =1.$\newline
Par exemple :\newline
$f_{1}\left( \left( 2,2,5,5,5,13\right) \right) =2^{2}.5^{3}.13$\newline
$f_{2}\left( \left( 2,5,13\right) \right) =2.5.13$\newline
$f_{3}\left( \{2,2,5,5,5,13\}\right) =2^{2}.5^{3}.13$\newline
$f_{4}\left( \{2,5,13\}\right) =2.5.13$\newline
\newline
Parmi les quatre applications $f_{i}$ une seule est bijective : laquelle ?

\item * : L'antinomie de Cantor (1891).\newline
Soit $\left( A_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ une suite de parties de $%
\mathbb{N}.$ Prouver que $B=\left\{ m\in \mathbb{N\;}/\;m\notin
A_{m}\right\} $ est une partie de $\mathbb{N}$ qui n'est pas \'{e}gale \`{a}
l'un des ensembles $A_{n}.$\newline
En d\'{e}duire que $\varphi :\left\vert 
\begin{array}{c}
\mathbb{N}\rightarrow \mathcal{P}\left( \mathbb{N}\right) \\ 
n\mapsto A_{n}%
\end{array}%
\right. $ n'est pas surjective.\newline
\underline{Remarque} : Cela signifie qu'on ne pourra jamais num\'{e}roter
toutes les parties de $\mathbb{N},$ c'est-\`{a} dire que$\ \mathcal{P}\left( 
\mathbb{N}\right) $ n'est pas d\'{e}nombrable.

\item * : il y a au moins autant de points dans une demi-droite que dans un
quart de plan !

On rappelle que tout r\'{e}el $\geqslant 0$ s'\'{e}crit de fa\c{c}on unique
sous la forme $....a_{k}...a_{1}a_{0},b_{1}....b_{k}.....=\underset{k=0}{%
\overset{\infty }{\dsum }}a_{k}10^{k}+\underset{k=1}{\overset{\infty }{\dsum 
}}\dfrac{b_{k}}{10^{k}},$ les nombres $a_{k}$ \'{e}tant des entiers entre 0
et $9,$ la suite $\left( a_{k}\right) $ \'{e}tant nulle \`{a} partir d'un
certain rang, et la suite $\left( b_{k}\right) $ n'\'{e}tant pas constitu%
\'{e}e uniquement de 9 \`{a} partir d'un certain rang ;

on d\'{e}finit une application $f$ de $\mathbb{R}_{+}^{2}$ dans $\mathbb{R}%
_{+}$ par 
\begin{equation*}
f(....a_{k}...a_{1}a_{0},b_{1}....b_{k}.....\ ;\
....c_{k}...c_{1}c_{0},d_{1}....d_{k}.....)=....a_{k}c_{k}...a_{1}c_{1}a_{0}c_{0},b_{1}d_{1}....b_{k}d_{k}.....
\end{equation*}

Par exemple, $f(46,3333...;1057,25)=1004567,32353030.....$

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(9/4,4/9)$ en le mettant sous forme de fraction$.$

\item Montrer que $f$ est injective ; pourquoi ceci prouve-t-il ce qui est
annonc\'{e} dans l'en-t\^{e}te ?

\item Montrer que $f$ n'est pas surjective (consid\'{e}rer 0,090909....).

\item Que dire de la restriction de $f$ \`{a} $\mathbb{N}^{2}$ ?

\item ** : modifier $f$ de sorte qu'elle devienne bijective.
\end{enumerate}

\item * : Soit $f$ une application de $\mathbb{E}$ dans $\mathbb{E}$ telle
que $f\circ f=\limfunc{id}_{\mathbb{E}}$ et $\forall x\in \mathbb{E\;}%
\,f\left( x\right) \neq x.$ D\'{e}montrer que si $\mathbb{E}$ a un nombre
fini $n$ d'\'{e}l\'{e}ments alors $n$ est pair.\newline
Applications :

\begin{itemize}
\item le nombre de parties d'un ensemble fini est pair (r\'{e}sultat faible
!!!).

\item le nombre de racines complexes non r\'{e}elles d'un polyn\^{o}me \`{a}
coefficients r\'{e}els est pair.
\end{itemize}

\item * : Soit $f:\left\vert 
\begin{array}{c}
\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}^{2} \\ 
n\mapsto \left( p\left( n\right) ,q\left( n\right) \right)%
\end{array}%
\right. $ une bijection. D\'{e}terminer \`{a} l'aide de $f$ une bijection de 
$\mathbb{N}$ sur $\mathbb{N}^{3}.$

\item * : On se donne trois ensembles finis ou infinis $A,B,C,$ et on
rappelle que la notation $A^{B}$ d\'{e}signe l'ensemble des applications de $%
B$ vers $A.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $A^{C}\times B^{C}$ est en bijection avec $\left( A\times
B\right) ^{C}.$

\item Montrer que si $B$ et $C$ sont disjoints, $A^{B}\times A^{C}$ est en
bijection avec $A^{B\cup C}.$

\item Montrer que $\left( A^{B}\right) ^{C}$ est en bijection avec $%
A^{B\times C}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
